Welcome To My World: Dinamika Rotasi

Dinamika Rotasi- Dinamika rotasi ini membahas seputar penggunaan Hukum Newton II untuk rotasi. Anda tentu masih ingat bahwa sebuah benda bermassa m yang mula-mula diam akan bergerak bila dikenai gaya F dengan percepatan sebesar a. Pada bahasan yang lalu juga dipaparkan bahwa sebuah benda yang dikenai torsi, maka benda akan berotasi. Bila sebuah benda berotasi tentunya dia memiliki kecepatan sudut dan mungkin juga percepatan sudut. Adakah kaitan antara percepatan sudut dengan torsi seperti antara dengan pada gerak linear?

Mari kita menurunkan persamaan yang menghubungkan antara torsi dan percepatan sudut. Tinjau sebuah benda bermassa m terikat oleh kawat tipis yang kaku berada sejauh r dari titik O. Benda kemudian diberi gaya F yang tegak lurus dengan r (Gambar 1).

Gambar 1 Bila F diberikan terus-menerus, maka benda akan berotasi terus-menerus.

Benda akan melakukan gerak rotasi, dengan arah lintasan sama dengan arah F dan mengalami percepatan linear a dengan memenuhi persamaan:

F = m.a …. (1)

Lintasan benda akan melingkar, percepatan setiap saat memiliki arah sejajar dengan lintasan setiap saat. Supaya menjadi torsi kita kalikan persamaan di atas dengan r pada kedua ruasnya, sehingga kita peroleh :

rF = mra …. (2)

Percepatan tangensial benda sama dengan r dikalikan percepatan sudutnya atau a = rα, sehingga persamaan (2) bisa kita tuliskan :

rF = mr²α

Karena F tegak lurus vektor r maka rF bisa katakan sebagai torsi yang dialami benda sehingga kita mendapat persamaan:

τ = Iα … (3)

Persamaan (3) di atas adalah hukum Newton kedua untuk rotasi. Bila F menghasilkan percepatan linear maka t menghasilkan percepatan sudut pada benda. Kalian sudah mendapatkan I adalah momen inersia, bandingkan persamaan (1 dan 2) di atas. Tampak I sama dengan massa. Massa menunjukkan kelembaman benda untuk bergerak, begitu juga momen inersia menunjukkan kelembaman benda untuk berotasi. Semakin besar momen inersia suatu benda, maka diperlukan torsi yang semakin besar untuk menggerakkannya agar berotasi.
Bagaimana jika benda yang berotasi tidak hanya sebuah titik, tetapi sebuah benda tegar, misalnya cakram berjari-jari r yang diputar pada sumbunya. Silinder terdiri atas banyak partikel. Misalkan torsi yang bekerja pada titik ke i adalah τ_i. Tiap titik bermassa m_idan jaraknya dari sumbu rotasi adalah r_i. Tiap titik memiliki percepatan sudut yang sama, tetapi percepatan linear tiap titik berbeda tergantung pada jarak titik tersebut dengan sumbu rotasi. Maka total torsi yang bekerja pada silinder adalah:

Contoh menghitung momen gaya pada roda

Sebuah roda berputar dari kecepatan 10 rad/s menjadi 70 rad/s karena mendapat momen gaya tetap dalam waktu 3 sekon. Jika momen kelembaman roda 4 kg m2, tentukanlah besar momen gaya tersebut.
Jawab
Diketahui: ω_o = 10 rad/s, ω = 70 rad/s, I = 4 kg m2, dan t = 3 s.
τ = Iα
τ = I.[(ω – ω_o)/t]
τ = 4.[(70 rad/s – 10 rad/s)/3 s]
τ = 80 Nm

Contoh menghitung percepatan benda yang terhubung pada katrol

Sebuah silinder pejal berjari-jari 15 cm dan bermassa 2 kg dijadikan katrol untuk sebuah sumur, seperti tampak pada gambar. Batang yang dijadikan poros memiliki permukaan licin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan, digulung pada silinder. Kemudian, sebuah ember bermassa 1 kg diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan ember saat jatuh ke dalam sumur.

Jawab

Diketahui: R = 15 cm, massa katrol silinder M = 2 kg, dan massa ember m = 1 kg.
Rotasi pada katrol silinder:
Berdasarkan persamaan momen gaya didapatkan
τ = Iα
RT = Ia/R
T = (I.a)/R² …. (a)
Translasi pada ember:
Berdasarkan Hukum Newton didapatkan

ƩF = m.a
mg – T = ma …. (b)
Dengan menggabungkan Persamaan (a) dan Persamaan (b), diperoleh hubungan.

Selanjutnya, substitusikan harga I = ½ M R2 pada Persamaan (c) sehingga diperoleh

dengan m adalah massa ember dan M adalah massa katrol silinder.

Contoh menghitung percepatan bola pada bidang miring

Sebuah benda pejal bermassa M dan berjari-jari R, memiliki momen inersia I = kMR². Benda tersebut menggelinding pada suatu bidang miring dengan sudut kemiringan, seperti tampak pada gambar.
a. Berapakah percepatan yang dialami benda pejal tersebut?
b. Tentukanlah percepatan yang terjadi, jika benda itu berupa bola dengan momen inersia I =(2/5)MR², atau silinder dengan I = ½ MR².
Jawab
Diketahui: I benda pejal = kMR².
a. Menurut Hukum Kedua Newton pada gerak translasi, diperoleh hubungan

Mg sin θ – f = Ma atau Ma + f = Mg sin θ …. (a)

Berdasarkan prinsip rotasi terhadap pusat benda, berlaku hubungan

τ = Iα → f R = kMR α→ f = kMa …. (b)

Substitusikan Persamaan (b) ke dalam Persamaan (a), diperoleh

Ma + kMa = Mg sinθ ⇨ a = (g sinθ) / (k +1)

b. Untuk silinder dengan k = ½ , diperoleh

a = (g sinθ) / ( ½ + 1) = (2/3) (g sinθ)

Momen inersia

Momen inersia adalah hasil kali partikel massa dengan kuadrat jarak tegak lurus partikel dari titik poros.
$I = m \times r^2$
Satuan dari momen inersia adalah kg m² (Kilogram meter kuadrat).
Besaran momen inersia dari beberapa benda.

Benda	Poros	Momen inersia
Batang silinder	Poros melalui pusat	$I = \frac{1}{12}\,\!mL^2$
Batang silinder	poros melalui ujung	$I = \frac{1}{3}\,\!mL^2$
Silinder berongga	Melalui sumbu	$I = mR^2$
Silinder pejal	Melalui sumbu	$I = \frac{1}{2}\,\!mR^2$
Silinder pejal	Melintang sumbu	$I = \frac{1}{4}\,\!mR^2 + \frac{1}{12}\,\!mL^2$
Bola pejal	Melalui diameter	$I = \frac{2}{5}\,\!mR^2$
Bola pejal	Melalui salahsatu garis singgung	$I = \frac{7}{5}\,\!mR^2$
Bola berongga	Melalui diameter	$I = \frac{2}{3}\,\!mR^2$